diketahui (x-2) dan ( x -1) adalah faktor - faktor suku banyak P(x) = X³ + aX² - 13X + b. jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah X₁, X₂, dan  X₃,

Suku banyak adalah bentuk fungsi aljabar dengan satu variabel yang berpangkat masing-masing variabel lebih dari satu dan pangkatnya merupakan bilangan bulat tak negatif. Suku banyak dinamakan juga polinomial. Faktor-faktor suku banyak adalah bentuk perkalian dari suku banyak tersebut atau bentuk suku banyak yang lain yang habis membagi suku banyak tersebut.

Bentuk umum polinomial adalah

P(x) = a + bx + cx² + dx³ + ... + mxⁿ

dengan  

a = konstanta

n = pangkat tertinggi (derajat suku banyak)

b, c, d, m = koefisien-koefisien dari masing-masing variabel x

Pembahasan

Misal suku banyak berderajat tiga  

P(x) = px³ + qx² + rx + s

memiliki akar-akar x₁, x₂, dan x₃, maka berlaku rumus

• x₁ + x₂ + x₃ = [tex]-\frac{q}{p}[/tex]
• x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = [tex]\frac{r}{p}[/tex]
• x₁ . x₂ . x₃ = [tex]-\frac{s}{p}[/tex]

Diketahui

P(x) = x³ + ax² – 13x + b

(x – 2) dan (x – 1) adalah faktor-faktor dari suku banyak

Akar-akar dari suku banyak adalah  

x₁, x₂, dan x₃ dengan x₁ > x₂ > x₃

Ditanyakan

x₁ – x₂ – x₃ = ... ?

Jawab

Cara pertama

(x – 2) = 0 ⇒ x = 2

(x – 1) = 0 ⇒ x = 1

Kita substitusikan x = 2 dan x = 1 ke P(x) dan hasilnya sama dengan nol.

P(x) = x³ + ax² – 13x + b

P(2) = 0

⇒ 2³ + a(2)² – 13(2) + b = 0

⇒ 8 + 4a – 26 + b = 0

⇒ 4a + b – 18 = 0

⇒ 4a + b = 18

P(1) = 0

⇒ 1³ + a(1)² – 13(1) + b = 0

⇒ 1 + a – 13 + b = 0

⇒ a + b – 12 = 0

⇒ a + b = 12

Eliminasi kedua persamaan

4a + b = 18

a + b = 12

-------------- -

3a = 6

a = 2

Substitusi a = 2 ke persamaan a + b = 12

2 + b = 12

b = 10

Sehingga suku banyaknya adalah

P(x) = x³ + ax² – 13x + b

P(x) = x³ + 2x² – 13x + 10

Dengan cara horner, kita masukkan x = 2 dan x = 1 agar diperoleh akar yang lain

2  |  1    2    –13    10

   |        2       8    –10

---------------------------- +

1  |   1    4     –5  | 0

   |        1       5

-------------------- +

      1    5    | 0

(x + 5) = 0

x = –5

Jadi urutan akar-akarnya dari yang terbesar adalah 2, 1, –5

 x₁ = 2, x₂ = 1 dan x₃ = –5

sehingga nilai dari x₁ – x₂ – x₃ adalah

= 2 – 1 – (–5)

= 2 – 1 + 5

= 6

Cara kedua

P(x) = x³ + ax² – 13x + b

p = 1, q = a, r = –13, s = b

dengan menggunakan rumus

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = [tex]\frac{r}{p}[/tex]

Diketahui x = 1 dan x = 2,  

misal akar yang lain adalah x₃ dan x₁ = 1, x₂ = 2

x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = [tex]\frac{r}{p}[/tex]

1(2) + 1.x₃ + 2.x₃ = [tex]\frac{-13}{1}[/tex]

2 + 3x₃ = –13

3x₃ = –15

x₃ = –5

Jadi akar-akarnya 1, 2 dan –5 sehingga x₁ = 2, x₂ = 1 dan x₃ = –5 

Nilai dari x₁ – x₂ – x₃ adalah

= 2 – 1 – (–5)

= 2 – 1 + 5

= 6

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang teorema sisa pada suku banyak

https://brainly.co.id/tugas/670122

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika Peminatan

Kategori : Suku Banyak

Kode : 11.2.3

Kata Kunci : Faktor-faktor suku banyak adalah, akar-akar